Η φύση αγαπά την αλήθεια, και η αλήθεια της φύσης διεκδικεί το δικαίωμα να εκτίθεται μόνο σε όσους την ποθούν. Φ. Ντοστογιέφσκι

Σάββατο, 19 Μαΐου 2018

Συνδυαστική ταλάντωσης με φαινόμενο Doppler


Το σώμα Σ, που περιέχει ένα μικρόφωνο συνδεμένο με μια συσκευή καταμέτρησης της συχνότητας του ήχου που συλλαμβάνει, είναι στερεωμένο στο κατώτερο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, του οποίου το άλλο άκρο συγκρατείται  από την οροφή. Κάτω από το σώμα Σ, στην προέκταση του άξονα του ελατηρίου, και σε απόσταση εκτός των ορίων της ταλάντωσής του, βρίσκεται μια ηχογόνος πηγή η οποία παράγει ήχο συχνότητας fs = 1700 Hz. Θέτουμε το σώμα σε απλή αρμονική ταλάντωση και κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις:
  • Η συσκευή καταμέτρησης της συχνότητας του ήχου  καταγράφει δύο ακραίες συχνότητες fmax και fmin  με διαφορά  fmax - fmin = 80 Hz.
  • Κάποια χρονική στιγμή, που τη θεωρούμε αρχή μέτρησης των χρόνων (t = 0),  ο δέκτης καταγράφει συχνότητα ήχου fA = 1680 Ηz, η οποία ελαττώνεται συνεχώς μέχρι και τη χρονική στιγμή t1.

Τετάρτη, 16 Μαΐου 2018

Προς την έξοδο ή την είσοδο του τούνελ;


(Μια παραλλαγή του προβλήματος 5.53 του σχολικού βιβλίου )

Δύο παιδιά βρίσκονται στο ίδιο σημείο στο εσωτερικό μιας σήραγγας τρένου.  Κάποια στιγμή ακούν τη σειρήνα ενός τρένου, που πλησιάζει με ταχύτητα υs = 30 m/sec. Τη στιγμή αυτή το τρένο βρίσκεται σε απόσταση ℓ από την είσοδο της σήραγγας, όσο είναι και το μήκος της. Τα παιδιά αντιλαμβάνονται ότι κινδυνεύουν αν το τρένο τα βρει μέσα στο τούνελ και, γι’ αυτό, αμέσως με το άκουσμα της έναρξης του ήχου της σειρήνας, τρέχουν αντίθετα μεταξύ τους με ίσες κατά μέτρο σταθερές ταχύτητες. Η θέση που βρίσκονταν, καθώς και το μέτρο της ταχύτητάς τους, έχουν τέτοια τιμή, ώστε και τα δυο παιδιά να προλάβουν να βγουν από τη σήραγγα, ακριβώς τη στιγμή που τα φτάνει το τρένο.  Η σειρήνα του τρένου παράγει ήχο συχνότητας 310 Hz για 15 sec.  Να βρείτε:

Δευτέρα, 14 Μαΐου 2018

Συνδυαστική κρούσης – Doppler


(Δύο εξισώσεις, τρεις άγνωστοι, ένας ζητούμενος)

Ένας ακίνητος παρατηρητής - ακροατής Π και δύο σώματα Σ1 και Σ2 βρίσκονται στην ίδια ευθεία ενός οριζοντίου επιπέδου, πάνω στην οποία τα Σ1 και Σ2 μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές. Το σώμα Σ2 είναι ανάμεσα στον παρατηρητή Π και στο σώμα Σ1. Και τα δύο σώματα είναι εφοδιασμένα με ηχητικές πηγές, που εκπέμπουν ήχο ίδιας συχνότητας fs = 600 Hz. Αρχικά, ο παρατηρητής ακούει δύο ήχους, από τους οποίους ο ένας έχει συχνότητα 600 Ηz και ο άλλος έχει συχνότητα 680 Ηz. Κάποια στιγμή τα δύο σώματα συγκρούονται ελαστικά

Τετάρτη, 9 Μαΐου 2018

Πού πήγε η ενέργεια που χάθηκε; (Προσέξτε το θέμα αυτό!)




Απορία μαθητή. Μου δόθηκε η εξής άσκηση:
Η ράβδος του σχήματος είναι οριζόντια και μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσον της. Το μήκος της ράβδου είναι L και η μάζα της Μ. Σε απόσταση r από τον άξονα περιστροφής βρίσκονται δύο μεταλλικοί δακτύλιοι μάζας m, ο καθένας, που συνδέονται μεταξύ τους με ένα νήμα. Το σύστημα στρέφεται γύρω από τον άξονα με γωνιακή συχνότητα ω0. Κάποια στιγμή το νήμα σπάει και οι δακτύλιοι, λόγω αδράνειας, ωθούνται στα άκρα της ράβδου, όπου δεν υπάρχει κανένα εμπόδιο να τους συγκρατήσει κι έτσι πέφτουν στο έδαφος. Να υπολογίστε τη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος και την κινητική ενέργεια περιστροφής του, τη στιγμή που οι δύο δακτύλιοι φτάνουν στο τέλος της ράβδου. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι  Iρ = ML2/12.

Γνωρίζω ότι πρέπει να χρησιμοποιήσω την αρχή διατήρησης στροφορμής:
                                         Ι0ω0 = Ιτελωτελ (=L)   ωτελ = Ι0ω0τελ
Και επομένως: 
                                             ΔΚσροφ =  (1/2)Lωτελ - (1/2)Lω0 < 0,
δηλαδή, έχουμε απώλεια ενέργειας.
Έχω όμως τις εξής απορίες:
1. Δεν έχουμε εξωτερικές δυνάμεις και ροπές στο σύστημα. Γιατί παραβιάζεται εδώ η αρχή διατήρησης της ενέργειας:
                                                       (1/2)Ι0ω02 =  (1/2)Ιτελωτελ2
Απ’ όπου προκύπτει αποτέλεσμα:  ωτελ = ω0( Ι0τελ) < ω0  και ΔΚ = 0, εντελώς διαφορετικό; Πού πήγε η ενέργεια που χάθηκε;
2. Όταν οι δακτύλιοι φύγουν από τη ράβδο, η νέα της γωνιακή ταχύτητα θα υπολογιστεί από τη σχέση 
                                           Ιρ· ωνεα = (Ιρ+ 2mL2/4) ωτελ;

Είναι μια όμορφη απορία, που απ' την εμπειρία μου γνωρίζω ότι την έχουν και άλλοι μαθητές. 

Ας πάρουμε ένα-ένα τα ερωτήματα:
1. Δεν παραβιάζεται η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας!
Στην εξίσωσή σου  (1/2)Ι0ω02 =  (1/2)Ιτελωτελ2,  θεωρείς ότι το σύστημα, τόσο στην αρχική όσο και στην τελική του κατάσταση, έχει μόνο κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. Όμως, υπάρχει και μια ποσότητα κινητικής ενέργειας  λόγω μεταφορικής κίνησης των δακτυλίων, καθώς αυτοί οδηγούνται, λόγω αδράνειας, προς τα άκρα της ράβδου. Οι δακτύλιοι, και περιστρέφονται και μετατοπίζονται, κι έτσι η συνολική τους ταχύτητα δεν είναι ίδια με την ταχύτητα των σημείων της ράβδου πάνω στα οποία εφάπτονται.
Πρέπει λοιπόν να διορθωθεί η προηγούμενη σχέση στην εξής
                                    (1/2)Ι0ω02 =  (1/2)Ιτελωτελ2+ 2(1/2)mυδ2    (1)
Όπου υδ είναι η ταχύτητα λόγω μεταφορικής κίνησης με την οποία φτάνουν οι δακτύλιοι στα άκρα της ράβδου.
Έτσι, στην εξίσωση (1) της Α.Δ.Μ.Ε υπάρχουν δύο άγνωστοι, το ωτελ και η υδ και άρα, αφού το σύστημα είναι μονωμένο, πρέπει να καταφύγεις και σε μια άλλη αρχή διατήρησης, αυτή της Α.Δ.Σ   0ω0 = Ιτελωτελ), απ’ όπου άμεσα προκύπτει το ωτελ. Ύστερα, από την εξίσωση (1), μπορείς να υπολογίσεις και την (ακτινική) ταχύτητα  με την οποία φτάνουν οι δακτύλιοι στα άκρα της ράβδου.
2.  Όχι. Όταν οι δακτύλιοι εγκαταλείψουν τη ράβδο, αυτή θα συνεχίσει να κινείται με γωνιακή ταχύτητα ωτελ, (ίση με αυτήν που είχε το σύστημα, τη στιγμή που οι δακτύλιοι έφταναν στα άκρα της ράβδου).
Η εξήγηση είναι απλή:  Μπορεί οι δακτύλιοι να εγκαταλείπουν τη ράβδο, κρατάνε ίδια όμως η στροφορμή τους, αφού δεν δέχονται κάποια εξωτερική ροπή. Πρέπει όμως να κρατήσει ίδια τη στροφορμή της και η ράβδος, αφού το σύστημα είναι μονωμένο, και αυτό σημαίνει ότι δε θα αλλάξει η γωνιακή της ταχύτητα.  
Στη σχέση, που γράφεις, έχεις παραλείψει τη στροφορμή που έχουν οι δακτύλιοι όταν εγκαταλείψουν τη ράβδο. Πρέπει να διορθωθεί στην εξής:
                         Ιρ· ωνεα + (2mL2/4) ωτελ = (Ιρ+2mL2/4) ωτελ 
Είναι φανερό ότι από αυτήν προκύπτει ωνεα = ωτελ.

Παρατήρηση: Υπόψη ότι, επειδή το σύστημα είναι μονωμένο, δεν συνεπάγεται ότι έχουμε και διατήρηση της μηχανικής του ενέργειας. Αυτό ισχύει μόνο αν οι δυνάμεις μέσα σε αυτό είναι συντηρητικές.  Υπάρχει, για παράδειγμα, η άσκηση 4.60 του σχολικού βιβλίου. Εκεί οι δακτύλιοι σταματάνε στα εμπόδια που υπάρχουν στα δύο άκρα της ράβδου. Είναι φανερό ότι στην άσκηση αυτή δεν ισχύει η Α.Δ.Μ.Ε, αφού οι δακτύλιοι συγκρούονται με τα εμπόδια και θεωρούμε ότι παραμένουν εκεί (πλαστική κρούση). Όλη η κινητική τους ενέργεια λόγω της ακτινικής τους ταχύτητας μετατρέπεται σε θερμική. Όταν όμως το σύστημα είναι μονωμένο, ισχύει πάντα η αρχή διατήρησης της στροφορμής του.

Τρίτη, 8 Μαΐου 2018

Αβαρής ράβδος και δύο σφαιρίδια σε σύνθετη κίνηση


Η κινητική ενέργεια του συστήματος «αβαρής ράβδος – σφαιρίδια», που κινείται με ταχύτητα 5 m/s και εκτελεί 1 περιστροφή το δευτερόλεπτο γύρω από το κέντρο μάζας του, είναι:
   α. 650 J,     
   β. 316,67 J,    
   γ.  350 J
Επιλέξτε το σωστό και αιτιολογείστε.

Τρεις κύλινδροι


Τρεις παρόμοιοι συμπαγείς και ομογενείς κύλινδροι και ένα αβαρές σχοινί αποτελούν το σύστημα του σχήματος. Όταν κύλινδρος 3 κατεβαίνει, ο 1 κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στην οριζόντια επιφάνεια ενός τραπεζιού και το σχοινί, χωρίς να ολισθαίνει, θέτει σε περιστροφή τον κύλινδρο 2. 

Ράβδος με διαφορετικές ταχύτητες στα άκρα της


Στο σχήμα φαίνονται, κάποια χρονική στιγμή t1, οι ταχύτητες των άκρων μιας ομογενούς ράβδου η οποία κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το μήκος της ράβδου είναι 1 m και η μάζα της 3 kg.
Να βρείτε:
α. Την κινητική ενέργεια της ράβδου