Ζεύγος δυνάμεων σε τροχό που κινείται σε οριζόντιο δάπεδο

4.  Ένας ομογενής τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με υ_cm = 10 m/sec και περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω = 10 rad/sec. Υπολογίστε τη ροπή ζεύγους δυνάμεων, συνεπίπεδων με τον τροχό, που θα χρειαστεί ώστε ο τροχός να σταματήσει σε 10 sec χωρίς να ολισθήσει.

Δίνεται η ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο του τροχού: I = (1/2)mR²  = 10 kg.m²  και ότι η ροπή του ζεύγους διατηρείται σταθερή σε όλη τη διάρκεια της κίνησης.

• ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Δύο όμοιες μικρές σφαίρες ανέρχονται σε πλάγιο επίπεδο

5.  Δύο όμοιες μικρές σφαίρες Α και Β αρχίζουν να ανέρχονται με την ίδια ταχύτητα η καθεμιά σε ένα πλάγιο επίπεδο. Το επίπεδο στο οποίο ανέρχεται η σφαίρα Α είναι τραχύ. Σε όλη τη διάρκεια της ανόδου της κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Το επίπεδο στο οποίο ανέρχεται η σφαίρα Β είναι λείο, κι έτσι ανέρχεται πάνω σ’ αυτό χωρίς τριβές. Οι σφαίρες έχουν την ίδια μάζα και την ίδια ακτίνα και τα πλάγια επίπεδα την ίδια γωνία κλίσης φ. Από τις δύο σφαίρες, η σφαίρα Α:

α)  Θα διανύσει μεγαλύτερο μήκος πάνω στο πλάγιο επίπεδο.

β)  Θα διανύσει μικρότερο μήκος πάνω στο πλάγιο επίπεδο.

γ)  Θα διανύσει ίδιο μήκος με τη σφαίρα Β πάνω στο πλάγιο επίπεδο.

     Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας

• ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Σταθερή ροπή λόγω τριβών με των άξονα περιστροφής (1η)

 6. Αφήνουμε τη ράβδο να περιστραφεί από την οριζόντια θέση γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο και είναι κάθετος σ’αυτήν. Κατά την κίνησή της η ράβδος δέχεται σταθερή ροπή λόγω τριβών από τον άξονα περιστροφής.

   Α. Χαρακτηρίστε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λάθος.

   α.  Όταν η ράβδος διέρχεται από την κατακόρυφη διεύθυνση το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της γίνεται ελάχιστο και ίσο με τη ροπή λόγω τριβών.

β.  Η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στην κατακόρυφη θέση της υπολογίζεται από τη σχέση:  mg(ℓ/2) = (1/2)I_(o)ω², όπου mg το βάρος της ράβδου, ℓ το μήκος της και Ι_(Ο)  η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το άκρο της Ο.

   γ.  Το έργο της ροπής λόγω τριβών, τ_Τ,  υπολογίζεται από τις σχέσεις:

    i)  W_T = -τ_Τ (π/2),   

    ii)  mg(ℓ/2) = (1/2)I_(o)ω²  + |W_T|

   Β. Να αιτιολογήσετε κάθε χαρακτηρισμό σας.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

mg

mg

A

O

Ρυθμός προσφοράς ενέργειας μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή

7.  Στην περιφέρεια μιας ακίνητης ομογενούς τροχαλίας, μάζας m = 1 kgr και ακτίνας R = 0,1 m, είναι τυλιγμένο ένα σχοινί αμελητέας μάζας. Η τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος στο κέντρο της και στερεώνεται σε ακλόνητη βάση.

Τη χρονική στιγμή t = 0 ασκούμε στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού μια σταθερή οριζόντια δύναμη F = 2 N, οπότε η τροχαλία τίθεται σε περιστροφή.

 O ρυθμός με τον οποίο προσφέρεται ενέργεια στον κύλινδρο τη χρονική στιγμή t = 1,2 sec είναι:

 α) 9,6 Joule/sec,  β)  18,2 Joule/sec γ)  60 Joule/sec.

Αιτιολογείστε την επιλογή σας.

Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας παρέχεται από τη σχέση Ι = (1/2)mR².

• ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Σταθερή ροπή λόγω τριβών με τον άξονα περιστροφής (2η)

8. Συγκρατούμε αρχικά τη ράβδο σε οριζόντια θέση και κάποια στιγμή την αφήνουμε να περιστραφεί γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο και είναι κάθετος σ’αυτήν. Λόγω τριβών με τον οριζόντιο άξονα περιστροφής, κατά τη διάρκεια της κίνησής της από την οριζόντια θέση ως την κατακόρυφη, παρατηρείται απώλεια μηχανικής ενέργειας 100π Joule. Aν το μέτρο της ροπής λόγω τριβών είναι σταθερό, τότε ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου:

α) Είναι σταθερός και ίσος με 200 Ν.m

β) Μεταβάλλεται και όταν η ράβδος περνά από την κατακόρυφη θέση, το μέτρο του παίρνει την τιμή 200 Ν.m.

  Ποια από τις δύο προτάσεις είναι σωστή; Αιτιολογείστε την άποψή σας.

• ΑΠΑΝΤΗΣΗ

ΚΥΛΙΣΗ ΤΡΟΧΟΥ ΜΕ ΑΥΛΑΚΙ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΥΣΣΩΜΑΤΩΜΑΤΟΣ

    Τα δύο ελατήρια του σχήματος, έχουν σταθερές k₁ = 300 N/m, το αριστερό, και k₂ = 100 N/m το δεξί. Το ένα άκρο τους είναι στερεωμένο σε ακλόνητο κατακόρυφο στήριγμα (στο Ε και στο Ζ, αντίστοιχα) ενώ στο άλλο άκρο τους είναι προσδεμένο ένα σώμα, το Σ₁ στο αριστερό ελατήριο και το Σ₂ στο δεξί.

    Τα δύο σώματα  με μάζες m₁ = 3 kgr  και m₂ = 1 kgr, αντίστοιχα, ηρεμούν πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα Σ₁ είναι δεμένο το ένα άκρο ενός οριζόντιου σχοινιού, που το άλλο άκρο του είναι στερεωμένο στο κεντρικό αυλάκι ενός ομογενούς κυλινδρικού τροχού μάζας Μ = 15 kgr. Ο τροχός ισορροπεί με τη βοήθεια του σχοινιού και της τριβής που αναπτύσσεται μεταξύ της περιφέρειας του αυλακιού του και μιας πλάγιας άκαμπτης δοκού. Οι ακτίνες του τροχού και του αυλακιού του είναι, αντίστοιχα, R = 0,15 m και r = 0,1 m. 

    Πάνω στον τροχό έχουμε χαράξει μια  διάμετρο  ΓΔ που είναι κάθετη στην πλάγια δοκό. Τα φυσικά μήκη των ελατηρίων εκτείνονται από τα στηρίγματα Ε, Ζ μέχρι τη θέση Ι. Οι διαστάσεις των σωμάτων θεωρούνται αμελητέες σε σχέση με τα μήκη των ελατηρίων. Η τάση του σχοινιού προκαλεί στο αριστερό ελατήριο συμπίεση Δℓ.

Α. Να υπολογίσετε την τάση του ….

Δείτε:

• Ολόκληρη την εκφώνηση της Άσκησης
• Τις Απαντήσεις στα ερωτήματα
• Την πλήρη λύση της

ΡΑΒΔΟΣ ΜΕ ΒΑΡΗ … ΠΟΥ ΔΕΝ ΙΣΟΡΡΟΠΕΙ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ

Ομογενής και ισοπαχής ράβδος μήκους 2L και βάρους w = 50 N ηρεμεί πάνω σε μια τραχιά κυλινδρική επιφάνεια ακτίνας R η οποία είναι στερεωμένη με τον άξονά της οριζόντιο. Αρχικά, η ράβδος είναι οριζόντια και το σημείο επαφής της με την κυλινδρική επιφάνεια είναι το μέσον της Κ και βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα της κυλινδρικής επιφάνειας όπως στο σχήμα (α). Το μήκος της ράβδου είναι ίσο με τα 2/3 της περιμέτρου του κυλίνδρου.

Προσθέτουμε δύο σώματα Σ₁ και Σ₂ με βάρη w₁ =100 Ν και w₂ = 50 Ν, αντίστοιχα, στα άκρα της ράβδου, η οποία περιστρέφεται χωρίς να ολισθαίνει, μέχρις ότου ισορροπήσει σε θέση που σχηματίζει γωνία φ με την αρχική της διεύθυνση, όπως στο σχήμα (β).

Α. Να δείξετε ότι η τιμή της γωνίας φ είναι:         

Β. Να υπολογίσετε το μέτρο της στατικής τριβής που αναπτύσσεται μεταξύ της κυλινδρικής επιφάνειας και της ράβδου στη θέση ισορροπίας της.

Γ.  Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα ….

Δείτε:

• Ολόκληρη την άσκηση
• Τη λύση της